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Analysis 1

Mit 250 Aufgaben mit Lösungen

Dieses Lehrbuch, das bereits in der 6. Auflage vorliegt, wendet sich an Studierende der Mathematik, Physik und Informatik. Es präsentiert systematisch und prägnant den Kanon der Analysis für das erste Studienjahr inklusive Fourierreihen und einfacher Differentialgleichungen. Grosser Wert wird auf sachbezogene Motivation und erläuternde Beispiele gelegt. Nahezu 250 Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades mit ausgearbeiteten Lösungen ergänzen den Lehrtext.

Einen besonderen Reiz erhält das Buch durch die zahlreichen historischen und biographischen Anmerkungen sowie die eingestreuten Perlen der klassischen Analysis.

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  • 1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 1.1 Vollständige Induktion.- 1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten.- 1.3 Aufgaben.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Körperstruktur von ?.- 2.2 Die Anordnung von ?.- 2.3 Die Vollständigkeit von ?.- 2.4 ? ist nicht abzählbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in ?.- 3.4 Die Unmöglichkeit einer Anordnung von ?.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Flogen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstrass.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von ?.- 5.7 Uneigentliche Konvergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Summierbare Familien.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.9 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktionund die trigonometrischen Funktionen.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente.- 8.3 Der natürliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 8.7 Nullstellen und Periodizität.- 8.8 Die Arcus-Funktionen.- 8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen.- 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens.- 8.11 Die Zahl ?.- 8.12 Die hyperbolischen Funktionen.- 8.13 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.4 Beispiele und Anwendungen.- 9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.6 Ableitungen höherer Ordnung.- 9.7 Konvexität.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz.- 9.10 Der Begriff der Stammfunktion.- 9.11 Eine auf ganz ? stetige, nirgends differenzierbare Funktion.- 9.12 Aufgaben.- 10 Lineare Differentialgleichungen.- 10.1 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung.- 10.2 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.- 10.3 Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten.- 10.4 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 10.5 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten.- 10.6 Erweiterung des Lösungsbegriffes.- 10.7 Aufgaben.- 11 Integralrechnung.- 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 11.2 Regelfunktionen.- 11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle.- 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen.- 11.5 Erste Anwendungen.- 11.6 Integration elementarer Funktionen.- 11.7 Integration normal konvergenter Reihen.- 11.8 Riemannsche Summen.- 11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle.- 11.10 Die Eulersche Summationsformel.- 11.11 Aufgaben.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 12.1 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe.- 12.2 Die Bogenlänge.- 12.3 Parameterwechsel.- 12.4 Krümmung ebener Kurven.- 12.5 Die Sektorfläche ebener Kurven.- 12.6 Kurven in Polarkoordinaten.- 12.7 Liftung und Windungzahlen.- 12.8 Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 12.9 Geometrie der Planetenbewegung Die drei Keplerschen Gesetze.- 12.10 Aufgaben.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen.- 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung
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    $$
    \ddot x = f(x)
    $$.- 13.4 Aufgaben.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 14.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen.- 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome.- 14.4 Das Newton-Verfahren.- 14.5 Aufgaben.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmässige Konvergenz.- 15.1 Gleichmässige Konvergenz.- 15.2 Vertauschungssätze.- 15.3 Kriterien für gelichmässige Konvergenz.- 15.4 Anwendung: dei Eulerschen Formeln für ?(2n).- 15.5 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen.- 15.6 Lokal gleichmässige Konvergenz. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel.- 15.7 Der Approximationssatz von Stone.- 15.8 Aufgaben.- 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 16.1 Der Approximationssatz von Fejér.- 16.2 Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen.- 16.3 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 16.4 Ein Beispiel von Fejér.- 16.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 16.6 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 16.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 16.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 16.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 16.10 Die Poissonsche Summenformel.- 16.11 Aufgaben.- 17 Die Gammafunktion.- 17.1 Die Gammafunktion nach Gauss.- 17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr und Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 17.3 Die Stirlingsche Formel.- 17.4 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Ewer.- Lösungen zu den Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
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Beschreibung

Produktdetails

Einband Taschenbuch
Seitenzahl 414
Erscheinungsdatum 04.09.2003
Sprache Deutsch
ISBN 978-3-540-40371-5
Verlag Springer
Maße (L/B/H) 23.6/15.8/2.5 cm
Gewicht 660 g
Abbildungen 6., durchges. XIII, mit 161 Abbildungen 23,5 cm
Auflage 6. Auflage
Verkaufsrang 37896
Buch (Taschenbuch)
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Kundenbewertungen

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Für Fortgeschrittene
von einer Kundin/einem Kunden aus Heidelberg am 15.04.2008

Ich kann meinem Vorredner in gewisser Weise beipflichten: Für Studenten im ersten Semester ist dieses Buch meiner Meinung nach deutlich zu schwer. Dafür ist dieses Lehrbuch aber auch nicht gedacht. Das Lehrbuch dient vielmehr dazu, das bereits absolvierte Grundstudium aufzufrischen und zu vertiefen. Das Niveau des Buches ist ... Ich kann meinem Vorredner in gewisser Weise beipflichten: Für Studenten im ersten Semester ist dieses Buch meiner Meinung nach deutlich zu schwer. Dafür ist dieses Lehrbuch aber auch nicht gedacht. Das Lehrbuch dient vielmehr dazu, das bereits absolvierte Grundstudium aufzufrischen und zu vertiefen. Das Niveau des Buches ist sehr hoch, ist aber für die Vorbereitung auf das Vordiplom sehr gut. Allerdings sind die Aufgaben wirklich sehr sehr schwer, sodass ich mich beim lernen aufs Vordiplom auf andere Aufgaben konzentriert habe. Daher nur 4 Punkte.

wenn man Analysis nicht versteht, dann sollte man die Finger von dieseb buch lassen
von einer Kundin/einem Kunden aus Bergheim am 01.02.2007

habe dieses Buch in der Hoffnung gekauft, endlich mal Analysis 1 im 1.Semester zu verstehen, leider war das nicht der Fall! Dieses Buch zeigt nur Setze und Definitionen und geht nicht auf die Problematik, des gerade beginnenden Studenten... zur nachschlagen zwar gut, um zu verstehen mühsam!